JZ47 礼物的最大价值

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JZ47 礼物的最大价值

描述

在一个$m×n$的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

如输入这样的一个二维数组，

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[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]

那么路径 $1\to3\to5\to2\to1$ 可以拿到最多价值的礼物，价值为12

示例1

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输入：[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
返回值：12

备注

$0<grid.length≤200 $
$0<grid[0].length≤200$

题解

同样的，拆解问题，我们只能考虑从左上角向右还是向下移动，直到到达右下角，所以每一次的操作只能考虑向右还是下移动。反过来也可以考虑从右下角往左上移动，二者是相似的，重点在于如何找到那条值的和最大的路径。

到达某个位置的礼物价值最大和是一定的，设为$dp[i][j]$，那么$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]$

由于到达最上方一列和最左侧一列都只有一条路径，那么可以获得初始条件：
$$
dp[i][0]=\sum_{k=0}^{i}grid[k][0]\
dp[0][j]=\sum_{k=0}^{j}grid[0][k]
$$
最后可以由递归直接获得$dp[m][n]$返回即可。

代码

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#include <vector>
class Solution {
public:
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     * 
     * @param grid int整型vector<vector<>> 
     * @return int整型
     */
    int maxValue(vector<vector<int> >& grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n));
        //初始化
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i < m; i++){
            dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i-1][0];
        }
        for(int i = 1; i < n; i++){
            dp[0][i] = grid[0][i] + dp[0][i-1];
        }
        //递推
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

没想出来怎么优化，问了大G老师，大G老师说把二维数组$dp$压成一维数组，看完了懂了，在遍历过程中，实际上只需要上一行的信息以及左侧一个的信息即可，上一行的信息用$dp_pre$存储，左侧一个的用$left$存储即可。