微分几何-曲面

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曲面的表示方法

1：参数化形式
$$
X(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))
$$

  • 支持从二维区域映射到三维空间

2：隐式表示
$$
f(x,y,z) = 0
$$

  • 用于重建、隐函数建模(SDF)

3：显式表示
$$
z=f(x,y)
$$

  • 表达能力弱，仅可用于特定局部场景

混合积 (Mixed Product)

给定三个三维向量$a,b,c$，它们的混合积定义为：

$$
[a,b,c] = a·(b×c)
$$
几何意义：

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混合积表示的是由三维向量a,b,c构成的平行六面体的有向体积
  • 若混合积＞0：右手系，体积为正
  • 若混合积＜0：左手系，体积为负
  • 若混合积＝0：三向量共面，体积为0

无向体积：$V = |[a,b,c]|$

使用场景：判断三向量是否共面

共变导数 (Covariant Derivative)

为了解决一个根本问题：

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在弯曲空间或曲面上，怎么“正确地”比较两个不同点处的向量？

基本定义

设 $M$ 是一个曲面或流形，$\vec{X}$ 是一个向量场，$\vec{V} \in T_pM$ 是某点处的切向量，则：

$\nabla_{\vec{V}}\vec{X}$

表示：在方向 $\vec{V}$ 上，向量场 $\vec{X}$ 的变化率，结果仍在切空间 $T_pM$ 内部。

它是一种“修正过的导数”，避免了将向量导出曲面的错误。

计算过程

令 $x^1, x^2, \dots, x^n$ 是局部坐标系

设向量场：
$$
\vec{X} = X^i \frac{\partial}{\partial x^i}
$$
共变导数公式:
$$
\nabla_j X^i = \frac{\partial X^i}{\partial x^j} + \Gamma^i_{jk} X^k
$$
其中：

  • $\Gamma^i_{jk}$ 是 Christoffel 符号（联络系数），反映了坐标轴自身的“弯曲”。

  • Christoffel 符号的计算

    若给定度量 $g_{ij}$（即第一基本形式），则 Christoffel 符号通过如下公式计算：
    $$
    \Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2} g^{im} \left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m} \right)
    $$
    其中 $g^{im}$ 是 $g_{ij}$ 的逆矩阵。

在测地线方程中的应用

测地线要求：
$$
\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma} = 0
$$
也就是说，速度向量场在自身方向上的共变导数为零。

展开成坐标形式：
$$
\ddot{x}^i + \Gamma^i_{jk} \dot{x}^j \dot{x}^k = 0
\quad \text{for all } i = 1, 2, \dots, n
$$
这就是测地线方程的局部表达式。