微分几何-曲线

曲线的切向量

对一条参数曲线：
	γ(t) = (x(t),y(t)) 或 γ(t) = (x(t),y(t),z(t))
切向量定义为该曲线在参数𝑡下的导数：
	T(t) = (γ'(t)) = (dx/dt, dy/dt) 或 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)

其几何意义为：表示点沿着曲线运动时的瞬时方向

单位切向量与弧长参数化

单位切向量定义为切向量的单位化形式：
$$
T(t)=\gamma^{\prime}(t)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\quad\text{或}\quad\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\right)
$$
而弧长参数化是指重新用”沿曲线的真实长度s”作为参数的曲线表示形式，其满足：
$$
|| \frac{d\gamma}{ds}|| = 1
$$

即在任意s处，单位切向量恒为单位长度。

曲率

曲率描述的是曲线在某点弯曲的成都，直觉上即为”拐的有多厉害”。

• 对于平面曲线，曲率定义为单位切向量关于弧长的变化率：
  $\kappa(s)=\left|\frac{d\hat{T}}{ds}\right|$

• 对于任意参数t，则有：

• $\kappa(t)=\frac{|\gamma^{\prime}(t)\times\gamma^{\prime\prime}(t)|}{|\gamma^{\prime}(t)|^3}\quad\mathrm{(3D)},\quad\kappa(t)=\frac{|x^{\prime}y^{\prime\prime}-y^{\prime}x^{\prime\prime}|}{(x^{\prime\prime}2+y^{\prime\prime}2)^{3/2}}\quad\mathrm{(2D)}$

直线：$k = 0$

圆：$k = 1/R$

法向量与曲率向量

• 法向量$N(t)$ : 垂直于单位切向量的方向，指向曲线”弯曲的那一侧”。

• 曲率向量$k(t)$ : 曲率与法向量的乘积

$$
\vec{k}(t) = k(t) · N(t)
$$

几何意义：

• 法向量给出了”朝内”的方向

• 曲率法向量综合表达了弯曲程度+弯曲方向