空间划分结构

KD-Tree

基本概念

KD-Tree 是一种二叉树结构，用于在 k 维空间中对点集进行递归划分。每个节点表示一个超平面划分，该超平面与某一维的坐标轴对齐。

测地线

等距不变性：

同一个模型，不同的姿势，两个定点之间的测地线距离不会发生变化

有监督深度学习的三维重建

无监督深度学习的四边形网格重建

符号距离场及三维重构

网格曲面的提取

网格曲面的基本结构-拉普拉斯算子

拉普拉斯算子

在连续情况下，拉普拉斯算子是：
$$
\Delta u = \nabla \cdot \nabla u
$$
而在网格曲面上（离散几何处理），它通常使用cotangent Laplacian表示为：
$$
\Delta u_i = \frac{1}{2A_i} \sum_{j\in N(i)}(cot\alpha_{ij}+cot\beta_{ij})(u_j-u_i)
$$

曲面的表示方法

1：参数化形式
$$
X(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))
$$

• 支持从二维区域映射到三维空间

2：隐式表示
$$
f(x,y,z) = 0
$$

• 用于重建、隐函数建模(SDF)

3：显式表示
$$
z=f(x,y)
$$

• 表达能力弱，仅可用于特定局部场景

曲线的切向量

1
2
3
4

对一条参数曲线：
	γ(t) = (x(t),y(t)) 或 γ(t) = (x(t),y(t),z(t))
切向量定义为该曲线在参数𝑡下的导数：
	T(t) = (γ'(t)) = (dx/dt, dy/dt) 或 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)

其几何意义为：表示点沿着曲线运动时的瞬时方向

CGAL中的2DArrangement算法